点を書くだけで円周率を求める方法

円周率πと聞くと、多くの人は「無理数」であることや「円の直径に対する円周の長さの比率」と思いつくかもしれません。

しかし、その円周率を求める方法を知っている人は少ないのではないでしょうか？

その答えは…ラマヌジャンの公式？

$\frac{1}{π} = \frac{\sqrt{8}}{99^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{(4^{n} n!)^{4}} \frac{1103 + 26390 n}{99^{4 n}}$

いいえ、点を書くだけです。

点を書くとはいっても紙にランダムに点を書いても意味がないので、その方法を伝授いたしましょう。

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①一辺 $2 r$ の正方形の中にぴったり入る半径 $r$ の円を用意します。

②この正方形の中に、ランダムに点を打っていきます。

③円の中に入った点の数を、打った点の総数で割ると…

このように面積に比例するのです。

このような近似的な解を求める方法をモンテカルロ法と呼びます。

「モンテカルロ法とは、一般に乱数を用いて近似的な解を求める計算手法」

詳しくはこちら→”「モンテカルロ法」20世紀の科学の魔王が名付けた計算法”

上記の公式の計算結果に４をかければπになるので、実際にやってみましょう。

点の数が100個の時

点の数が200個の時

点の数が999個の時

点の数が9999個の時

皆さんも実際にやってみてください↓

”

このように点を増やしたり試行回数を重ねれば重ねるほど、精度は高まりπに近づいていくのです。

数学に関する書籍を紹介するので是非手に取ってみてください。

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